Materi, Soal, dan Pembahasan – Fungsi Naik dan Fungsi Turun

Diketahui $f(x)=x^3-6x^2+9x+2$ sehingga turunan pertamanya adalah $f^{\prime }(x)=3x^2-12x+9$.
Kurva $f(x)$ selalu turun jika diberi syarat $f^{\prime }(x)<0$.
$\begin{array}{rl}3x^2-12x+9& <0\\ \text{Kedua ruas dibagi}& \text{dengan}3\\ x^2-4x+3& <0\\ (x-3)(x-1)& <0\\ \therefore 1<x& <3\end{array}$
Jadi, interval $x$ yang membuat kurva fungsi $f(x)$ selalu turun adalah $\boxed{{\displaystyle 1<x<3}}$
(Jawaban C)

Diketahui $g(x)=2x^3-9x^2+12x$ sehingga turunan pertamanya adalah $g^{\prime }(x)=6x^2-18x+12.$
Kurva $g(x)$ selalu naik jika diberi syarat $g^{\prime }(x)>0.$
$\begin{array}{rl}6x^2-18x+12& >0\\ \text{Kedua ruas dibagi}& \text{dengan}6\\ x^2-3x+2& >0\\ (x-2)(x-1)& >0\\ \therefore x<1\text{atau}x& >2\end{array}$
Jadi, interval $x$ yang membuat kurva fungsi $g(x)$ selalu naik adalah $\boxed{{\displaystyle x<1\text{atau}x>2}}$
(Jawaban C)

Diketahui $p(x)=x(6-x{)}^2.$ Turunan pertama $p(x)$ dapat dicari secara manual dengan menjabarkan seperti berikut (pangkatnya masih kecil, sehingga masih sangat memungkinkan untuk dijabarkan).
$\begin{array}{rl}p(x)& =x(6-x{)}^2\\ & =x(36-12x+x^2)\\ & =36x-12x^2+x^3\\ p^{\prime }(x)& =36-24x+3x^2\end{array}$
Grafik fungsi $p(x)$ tidak pernah turun jika diberi syarat $p^{\prime }(x)\ge 0.$
$\begin{array}{rl}36-24x+3x^2& \ge 0\\ \text{Kedua ruas dibagi}& \text{dengan}3\\ x^2-8x+12& \ge 0\\ (x-2)(x-6)& \ge 0\\ \therefore x\le 2\text{atau}x& \ge 6\end{array}$
Jadi, interval $x$ yang membuat grafik fungsi $p(x)$ tidak pernah turun adalah $\boxed{{\displaystyle x\le 2\text{atau}x\ge 6}}$
(Jawaban B)

Diketahui $\pi (x)=x^3+3x^2+5$ sehingga turunan pertamanya adalah ${\pi }^{\prime }(x)=3x^2+6x.$
Grafik fungsi $\pi (x)$ tidak pernah naik jika diberi syarat ${\pi }^{\prime }(x)\le 0.$
$\begin{array}{rl}3x^2+6x& \le 0\\ \text{Kedua ruas dibagi}& \text{dengan}3\\ x^2+2x& \le 0\\ x(x+2)& \le 0\\ \therefore -2\le x& \le 0\end{array}$
Jadi, interval $x$ yang membuat grafik fungsi $\pi (x)$ tidak pernah turun adalah $\boxed{{\displaystyle -2\le x\le 0}}$
(Jawaban A)

Diketahui $R(x)=x^3-3x^2+3x-2.$
Turunan pertamanya adalah $R^{\prime }(x)=3x^2-6x+3$. Selanjutnya, kita akan mencari titik stasioner fungsi tersebut, yakni saat $R^{\prime }(x)=0.$
$\begin{array}{rl}3x^2-6x+3& =0\\ \text{Kedua ruas dibagi}& \text{dengan}3\\ x^2-2x+1& =0\\ (x-1{)}^2& =0\\ x& =1\end{array}$
Perhatikan bahwa pada ekspresi $(x-1{)}^2$, kita mendapati bahwa nilai darinya tidak mungkin bertanda negatif (ingat bahwa semua bilangan real yang dikuadratkan tidak akan bertanda negatif), sehingga grafik fungsi $R(x)$ tidak pernah turun, melainkan stasioner (tetap) atau naik, seperti yang tampak pada sketsa gambar berikut.

(Jawaban B)

Diketahui $y={\displaystyle \frac{x^2+3}{x-1}}$. Turunan pertamanya dapat ditentukan dengan menggunakan aturan hasil bagi.
Misalkan $u=x^2+3\Rightarrow u^{\prime }=2x$ dan $v=x-1\Rightarrow v^{\prime }=1$ sehingga
$\begin{array}{rl}{y}^{\prime }& ={\displaystyle \frac{u^{\prime }v-u{v}^{\prime }}{v^2}}\\ & ={\displaystyle \frac{2x(x-1)-(x^2+3)(1)}{(x-1{)}^2}}\\ & ={\displaystyle \frac{2x^2-2x-x^2-3)}{(x-1{)}^2}}\\ & ={\displaystyle \frac{x^2-2x-3}{(x-1{)}^2}}\\ & ={\displaystyle \frac{(x-3)(x+1)}{(x-1{)}^2}}\end{array}$
Grafik fungsi tersebut selalu turun jika diberi syarat $y^{\prime }<0$, yaitu
${\displaystyle \frac{(x-3)(x+1)}{(x-1{)}^2}}<0.$
Dari pertidaksamaan di atas, diketahui bahwa penyebut dipastikan bernilai positif untuk $x\ne 1$, sehingga yang memengaruhi tanda hanya pembilangnya saja.
Agar keseluruhan bernilai negatif, pembilangnya harus dibuat negatif.
$\begin{array}{rl}(x-3)(x+1)& <0\\ \therefore -1<x& <3\end{array}$
Karena $x\ne 1$ (berakibat penyebut bernilai $0$), maka kita peroleh bahwa interval $x$ yang memenuhi adalah seluruh bilangan di antara $-1$ dan $3$, kecuali $1$, kita tulis
$\boxed{{\displaystyle -1<x<1\text{atau}1<x<3}}$
(Jawaban D)

Diketahui $f(x)=a{x}^3+x^2+5$ dan $f(x)$ selalu naik di $0<x<2$, mengimplikasikan bahwa
$\begin{array}{rl}(x-0)(x-2)& <0\\ x(x-2)& <0\\ x^2-2x& <0& & (\cdots 1)\end{array}$
Turunan pertama $f(x)$ adalah $f^{\prime }(x)=3a{x}^2+2x.$
Grafik fungsi $f(x)$ selalu naik jika diberi syarat $f^{\prime }(x)>0$.
$$\begin{array}{rl}3a{x}^2+2x& >0\\ \text{Kedua ruas dikali}& \text{dengan}-1\\ -3a{x}^2-2x& <0& & (\cdots 2)\end{array}$$Kaitkan pertidaksamaan $(1)$ dan $(2)$.
$\{\begin{array}{ll}{x}^2-2x& <0\\ -3a{x}^2-2x& <0\end{array}$
Diperoleh $-3a=1\Rightarrow a=-{\displaystyle \frac{1}{3}}.$
Jadi, Nilai $a$ yang membuat $f(x)$ selalu naik pada interval tersebut adalah $\boxed{{\displaystyle -{\displaystyle \frac{1}{3}}}}$ 
(Jawaban B)

Diketahui $T(x)=2x^3+3a{x}^2-4bx+5$ dan $T(x)$ selalu turun di $-4<x<1$, mengimplikasikan bahwa
$\begin{array}{rl}(x+4)(x-1)& <0\\ x^2-x+4x-4& <0\\ x^2+3x-4& <0& & (\cdots 1)\end{array}$
Turunan pertama $T(x)$ adalah $T^{\prime }(x)=6x^2+6ax-4b.$
Grafik fungsi $T(x)$ selalu turun jika diberi syarat $T^{\prime }(x)<0.$
$$\begin{array}{rl}6x^2+6ax-4b& <0\\ \text{Kedua ruas dibagi}& \text{dengan}6\\ x^2+ax-{\displaystyle \frac{2}{3}}b& <0& & (\cdots 2)\end{array}$$Kaitkan pertidaksamaan $(1)$ dan $(2)$.
$\{\begin{array}{ll}{x}^2+3x-4& <0\\ x^2+ax-{\displaystyle \frac{2}{3}}b& <0\end{array}$
Diperoleh:
$\begin{array}{rl}a& =3(✓)\\ -{\displaystyle \frac{2}{3}}b& =-4\Rightarrow b=6(✓)\end{array}$
Jadi, nilai $\boxed{{\displaystyle {\displaystyle \frac{b}{a}}={\displaystyle \frac{6}{3}}=2}}$
(Jawaban B)

Diketahui $f(x)=x^3+a{x}^2+bx+c$ dan $f(x)$ selalu turun di $-1<x<5$, mengimplikasikan bahwa
$\begin{array}{rl}(x+1)(x-5)& <0\\ x^2-5x+x-5& <0\\ x^2-4x-5& <0& & (\cdots 1)\end{array}$
Turunan pertama $f(x)$ adalah $f^{\prime }(x)=3x^2+2ax+b$.
Grafik fungsi $f(x)$ selalu turun jika diberi syarat $f^{\prime }(x)<0.$
$$\begin{array}{rl}3x^2+2ax+b& <0\\ \text{Kedua ruas dibagi}& \text{dengan}3\\ x^2+{\displaystyle \frac{2}{3}}ax+{\displaystyle \frac{1}{3}}b& <0& & (\cdots 2)\end{array}$$Kaitkan pertidaksamaan $(1)$ dan $(2)$.
$\{\begin{array}{ll}{x}^2-4x-5& <0\\ x^2+{\displaystyle \frac{2}{3}}ax+{\displaystyle \frac{1}{3}}b& <0\end{array}$
Diperoleh:
$\begin{array}{rl}\bullet {\displaystyle \frac{2}{3}}a& =-4\Rightarrow a=-6\\ \bullet {\displaystyle \frac{1}{3}}b& =-5\Rightarrow b=-15\end{array}$
Jadi, nilai $\boxed{{\displaystyle a+b=-6+(-15)=-21}}$
(Jawaban A)

Diketahui $L(x)=a{x}^3+9b{x}^2-24x+5$ dan $L(x)$ selalu naik di $x<-4$ atau $x>1$, mengimplikasikan bahwa
$\begin{array}{rl}(x+4)(x-1)& >0\\ x^2-x+4x-4& >0\\ x^2+3x-4& >0& & (\cdots 1)\end{array}$
Turunan pertama $L(x)$ adalah $L^{\prime }(x)=3a{x}^2+18bx-24.$
Grafik fungsi $L(x)$ selalu naik jika diberi syarat $L^{\prime }(x)>0.$
$\begin{array}{rl}3a{x}^2+18bx-24& >0\\ \text{Kedua ruas dibagi}& \text{dengan}6\\ {\displaystyle \frac{a}{2}}{x}^2+3bx-4& >0& & (\cdots 2)\end{array}$
Catatan: Mengapa harus dibagi 6? Karena kita harus membuat konstantanya menjadi $-4$ sesuai dengan pertidaksamaan $(1).$
Berikutnya, kaitkan pertidaksamaan $(1)$ dan $(2).$
$\{\begin{array}{ll}{x}^2+3x-4& >0\\ {\displaystyle \frac{a}{2}}{x}^2+3bx-4& >0\end{array}$
Diperoleh:
$\begin{array}{rl}\bullet {\displaystyle \frac{a}{2}}& =1\Rightarrow a=2\\ \bullet 3b& =3\Rightarrow b=1\end{array}$
Jadi, nilai $\boxed{{\displaystyle a+b=2+1=3}}$
(Jawaban C)

Diketahui $f(x)={\sin }^{2}x.$
Turunan pertamanya adalah $f^{\prime }(x)=2\sin x\cos x=\sin 2x$. Grafik fungsi $f$ akan naik ketika diberi syarat $f^{\prime }(x)>0$, yaitu $\sin 2x>0.$
Pembuat nol adalah $\{0,{\displaystyle \frac{\pi }{2}},\pi ,{\displaystyle \frac{3\pi }{2}},2\pi \}.$
Buat garis bilangan dan tentukan tanda kepositivan dengan uji titik.

Ini berarti, $\sin 2x>0$ terpenuhi ketika $0<x<{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$ atau $\pi <x<{\displaystyle \frac{3\pi }{2}}$. Jadi, $f(x)={\sin }^{2}x$ akan naik pada interval $0<x<{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$ atau $\pi <x<{\displaystyle \frac{3\pi }{2}}$ seperti yang dipertegas pada sketsa grafik berikut.
(Jawaban C)

Jawaban a)
Diketahui $f(x)=x^4-2x^2+1$ sehingga turunan pertamanya adalah $f^{\prime }(x)=4x^3-4x.$
Kurva $f(x)$ selalu naik jika diberi syarat $f^{\prime }(x)>0.$
$\begin{array}{rl}4x^3-4x& >0\\ \text{Kedua ruas dibagi}& \text{dengan}4\\ x^3-x& >0\\ x(x+1)(x-1)& >0\end{array}$
Diperoleh pembuat nol $x=-1$, $x=0$, atau $x=1$. Buat garis bilangan dan tentukan tanda kepositivannya dengan melakukan uji titik.
Kita peroleh bahwa penyelesaian dari pertidaksamaan tersebut adalah $\boxed{{\displaystyle -1<x<0\text{atau}x>1}},$ yang merupakan interval nilai $x$ yang membuat grafik $f(x)$ selalu naik.
Jawaban b)
Diketahui $g(x)={\displaystyle \frac{x}{x+1}}$. Turunan pertamanya dapat dicari dengan menggunakan aturan hasil bagi.
Misal $u=x\Rightarrow u^{\prime }=1$ dan $v=x+1\Rightarrow v^{\prime }=1.$
$\begin{array}{rl}{g}^{\prime }(x)& ={\displaystyle \frac{u^{\prime }v-u{v}^{\prime }}{v^2}}\\ & ={\displaystyle \frac{1(x+1)-x(1)}{(x+1{)}^2}}\\ & ={\displaystyle \frac{1}{(x+1{)}^2}}\end{array}$
Kurva $g(x)$ selalu naik jika diberi syarat $g^{\prime }(x)>0$, yaitu ${\displaystyle \frac{1}{(x+1{)}^2}}>0$.
Perhatikan bahwa penyebut dipastikan tidak akan bernilai negatif karena berbentuk kuadrat, sedangkan pembilangnya sudah jelas positif. Ini artinya, semua nilai $x\in \mathbb{R}$ akan memenuhi kecuali $x=-1$ karena akan membuat penyebut menjadi $0$. Kita simpulkan bahwa $g(x)$ selalu naik pada interval $\boxed{{\displaystyle x\ne -1}}$, dan ini dipertegas dari gambar grafik fungsi $g(x)$ berikut.
Jawaban c)
Diketahui $f(x)=8x^{1/3}-x^{4/3}$. Turunan pertamanya adalah
$\begin{array}{rl}{f}^{\prime }(x)& =8(1/3)x^{1/3-1}-(4/3)x^{4/3-1}\\ & ={\displaystyle \frac{8}{3}}{x}^{-2/3}-{\displaystyle \frac{4}{3}}{x}^{1/3}\end{array}$
Kurva $f(x)$ selalu naik jika diberi syarat $f^{\prime }(x)>0$.
$\begin{array}{rl}{\displaystyle \frac{8}{3}}{x}^{-2/3}-{\displaystyle \frac{4}{3}}{x}^{1/3}& >0\\ \text{Kalikan kedua ruas}& \text{dengan}{x}^{2/3}\\ {\displaystyle \frac{8}{3}}-{\displaystyle \frac{4}{3}}x& >0\\ -{\displaystyle \frac{4}{3}}x& >{\displaystyle \frac{8}{3}}\\ x& <2\end{array}$
Jadi, interval nilai $x$ yang membuat grafik $f(x)$ selalu naik adalah $\boxed{{\displaystyle x<2}}$ dan kesimpulan ini dipertegas oleh gambar grafik $f(x)$ berikut dengan menggunakan bantuan aplikasi GeoGebra.

Jawaban a)
Diketahui $f(x)=4x^4+4x^3-12x^2.$
Turunan pertama $f(x)$ adalah
$f^{\prime }(x)=16x^3+12x^2-24x.$
Agar kurva $f(x)$ selalu turun, maka harus diberi syarat $f^{\prime }(x)<0.$
$\begin{array}{rl}16x^3+12x^2-24x& >0\\ \text{Kedua ruas dibagi}& \text{dengan}4\\ 4x^3+3x^2-6x& >0\\ x(4x^2+3x-6)& >0\end{array}$
Bentuk $4x^2+3x-6$ tidak dapat difaktorkan secara rasional karena bila diperiksa nilai diskriminannya ($D=b^2-4ac$) bukan bilangan kuadrat. Jadi, kita akan menggunakan rumus ABC.
$\begin{array}{rl}{x}_{1,2}& ={\displaystyle \frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}}\\ & ={\displaystyle \frac{-3\pm \sqrt{(3{)}^2-4(4)(-6)}}{2(4)}}\\ & ={\displaystyle \frac{-3\pm \sqrt{105}}{8}}\end{array}$
Dengan demikian, dari pertidaksamaan sebelumnya, kita peroleh $3$ pembuat nol, yaitu
$\{\begin{array}{ll}x& =0\\ x& ={\displaystyle \frac{-3+\sqrt{105}}{8}}\\ x& ={\displaystyle \frac{-3-\sqrt{105}}{8}}\end{array}$
Lakukan uji titik dan bantuan garis bilangan untuk menentukan penyelesaian pertidaksamaan tersebut.

Kita peroleh bahwa penyelesaiannya adalah $x<{\displaystyle \frac{-3-\sqrt{105}}{8}}$ atau $0<x<{\displaystyle \frac{-3+\sqrt{105}}{8}}$. Interval inilah yang akan membuat grafik $f(x)$ selalu turun.
Jawaban b)
Diketahui $g(x)=x\sqrt{x^2+1}.$
Dengan menggunakan aturan hasil kali, kita misalkan $u=x\Rightarrow u^{\prime }=1$ dan $v=\sqrt{x^2+1}$, berakibat
$\begin{array}{rl}{v}^{\prime }& ={\displaystyle \frac{1}{2}}(x^2+1{)}^{-1/2}\cdot 2x\\ & ={\displaystyle \frac{x}{\sqrt{x^2+1}}}\end{array}$
Dengan demikian,
$\begin{array}{rl}{f}^{\prime }(x)& =u^{\prime }v+u{v}^{\prime }\\ & =1\sqrt{x^2+1}+x\cdot {\displaystyle \frac{x}{\sqrt{x^2+1}}}\\ & =\sqrt{x^2+1}+{\displaystyle \frac{x^2}{\sqrt{x^2+1}}}\end{array}$
Kurva $f(x)$ selalu turun pada saat $f^{\prime }(x)<0.$
$\begin{array}{rl}\sqrt{x^2+1}+{\displaystyle \frac{x^2}{\sqrt{x^2+1}}}& >0\\ \text{Kedua ruas dikali dengan}& \sqrt{x^2+1}\\ (x^2+1)+x^2& >0\\ 2x^2+1& >0\end{array}$
Bentuk $2x^2+1$ memiliki nilai diskriminan $D=0^2-4(2)(1)=-8$. Karena diskriminan bertanda negatif dan koefisien $x^2$ positif, maka disimpulkan bahwa bentuk kuadrat itu definit positif (selalu positif untuk semua nilai $x$). Dengan kata lain, tidak ada satu pun nilai $x$ yang membuat $f(x)$ selalu turun.